Cuando estalló la Segunda Guerra Carlista de 1872 se exilió junto a su familia en Ziburu (País Vasco-Francés), huyendo del asedio de la capital guipuzcoana. Allí estudió el bachillerato e inició sus primeros pasos en el teatro. Ziburu se considera la cuna del teatro vasco moderno. Con trece años participó en la representación Iriyarena de Marcelino Soroa, en el marco de las representaciones que se llevaban a cabo en la sociedad El Trueno, que ponían en escena piezas teatrales y desde entonces su vida estuvo vinculada al arte dramático.

Tras la guerra, Donostia inició un renacimiento cultural y político en el que el propio Alzaga participa plenamente, siendo presidente del partido EAJ-PNV en Donostia. Asimismo, fue miembro del consejo de dirección del periódico Gipuzkoarra.

En cuanto al teatro, prosiguió la línea iniciada por Soroa. Escribió más de treinta obras de teatro, a menudo humorísticas. La primera de ellas fue Martin Tiñacu (1886), con texto en español. La primera en euskera fue Aterako gera (1888), que se representó en Lapurdi. Además de teatro escribió tres óperas: Txanton Piperri (1899), Amboto (1906) y Gli kornamenti (1906), las dos primeras compuestas por Buenaventura Zapirain. Y los soliloquios Arpuxa kalian (1922), Urdallekua (1925) y Txingurri (1925). Desde 1915 hasta su muerte fue el director teatral vasco más representado.

Revitalizador del teatro vasco, hasta su fallecimiento, fue presidente de la cátedra de Euskal Iztundea (Academia de Declamación Vasca) en 1915, una iniciativa teatral del Ayuntamiento de San Sebastián que en la práctica funcionó como grupo de teatro, representando obras tanto en Guipúzcoa como en el resto de provincias vascas.

También organizó actos culturales como Juegos Florales, competiciones de versolarismo, concursos literarios, etc. Participó activamente en la modernización y consolidación del teatro vasco. Se caracterizó por el uso de un lenguaje sencillo. La mayoría de sus obras se publicaron póstumamente.

Durante los años veinte publicó las traducciones al euskera de Ramuntcho de Pierre Loti (1920) y Macbeth de Shakespeare con el título de Iritza (1926).

Dirigió la revista bilingüe Euskal-erria creada por José Manterola.

En 1936 Euskal Iztundea fue cerrada por las autoridades franquistas y Alzaga encarcelado en Ondarreta. Murió poco después, en San Sebastián el 27 de mayo de 1941.

(Servicio de Información Bibliográfica)